Tentunya, kita semua mengenal bilangan Fibonacci (atau disebut juga barisan Fibonacci). Suku pertama barisan ini adalah 1, begitu pula dengan suku ke-2. Suku berikutnya merupakan penjumlahan 2 suku sebelumnya.
dimana =
=========================================================================
Sepasang kelinci muda (jantan dan betina) ditempatkan di suatu pulau. Asumsikan bahwa kelinci tidak akan melahirkan sebelum berumur 2 bulan. Kemudian, setelah berumur 2 bulan, setiap pasang kelinci akan melahirkan sepasang kelinci setiap 1 bulan. Pertanyaannya: Berapa banyak pasang kelinci yang ada di sana setelah n bulan? (Kita juga menggunakan asumsi bahwa kelinci tidak akan pernah mati.)
Kita dapat mengilustrasikan masalah kelinci itu seperti tabel di bawah.
Asumsikan bahwa gambar 1 kelinci berarti 1 pasang kelinci.
Keterangan: | |
= kelinci muda | |
= kelinci 1 bulan | |
= kelinci berumur ≥ 2 bulan |
Bulan ke- | Ilustrasi kelinci yang ada di pulau | Total pasang kelinci |
1 | __ |
1 |
2 | __ |
1 |
3 | _________ |
2 |
4 | _________ __ |
3 |
5 | _________ ______ |
5 |
6 | 8 | |
7 | dan seterusnya… | 13 |
Barisan Fibonacci dapat didefinisikan kembali sebagai berikut:
.
untuk
Untuk selanjutnya, barisan Fibonacci ini muncul dalam berbagai macam aplikasi. Sebagai contoh, di dalam bidang pertanian, jumlah pola spiral yang muncul pada tanaman (sering disebut sebagai phyllotaxis) selalu merupakan pola barisan Fibonacci.
=========================================================================
Dalam hubungannya mencari jumlah n suku pertama, pembicaraan kita tak terlepas dari deret. Kita beri simbol untuk menyatakan jumlah n suku pertama tersebut
Note: Pemberian simbol untuk deret Fibonacci ini tidak universal, dan tidak berlaku di tempat lain.
Tabel (barisan Fibonacci)
f1 | f2 | f3 | f4 | f5 | f6 | f7 | f8 | f9 | f10 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
Tabel (deret Fibonacci)
F1 | F2 | F3 | F4 | F5 | F6 | F7 | F8 | F9 | F10 |
1 | 2 | 4 | 7 | 12 | 20 | 33 | 54 | 88 | 144 |
Jelas bahwa kita menemukan identitas berikut:
berlaku untuk .
Kita tahu bahwa untuk . Jika kita mensubstitusikan , maka pernyataan sebelumnya bermakna sama dengan: untuk . Atau, jika kita tulis ulang dengan pemindahan ruas, akan sama dengan:
Oleh karena itu:
=
=
=
=========================================================================
== RUMUS BINET==
Berikut diberikan formula (rumus Binet) untuk menentukan suku ke-n dari barisan fibonacci.
dimana = .
Sebagai contoh n = 9. Maka:
Hasilnya tidak diragukan lagi. Memang sama..!!
Barisan Fibonacci merupakan barisan kombinasi linear . Namun, kita juga dapat mendekati barisan ini secara geometrik.
Asumsikan bahwa: dimana a merupakan konstanta awal yang bukan nol. Dengan demikian:
Dengan membagi kedua ruas dengan , kita dapatkan:
Bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kita gunakan rumus untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Maka, kita dapatkan: dan . Untuk mempermudah penulisan, kita tahu bahwa hasil dari merupakan golden number, maka kita simbolkan dengan . Hasil dari juga ternyata adalah .
Kita mendapatkan 2 buah r dalam barisan ini. Artinya, barisan fibonacci merupakan barisan geometri kombinasi menggunakan 2 buah rasio tersebut. Ingat kembali asumsi awal bahwa . Karena, kita memiliki 2 buah rasio r, maka kita definisikan kembali
dimana dan adalah konstanta bukan nol.
Kombinasi linear tersebut dapat dibuktikan kebenarannya, seperti yang ditunjukkan di kotak warna biru di bawah.
Kita buktikan secara induksi matematika. Anggap bahwa adalah BENAR.
Kita tahu bahwa: , maka:
Namun, kita tahu dari persamaan karakteristik sebelumnya bahwa dengan membaginya dengan , kita dapatkan . Begitu pula dengan , kita dapatkan .
… (a)
… (b)
Dengan menyelesaikan persamaan (a) dan (b), maka kita dapatkan dan .
Maka, kita sudah mendapatkan semua komponen formula Fibonacci.
Dapat disingkat menjadi:
dimana = .
=========================================================================
untuk n cukup besar.
Sebenarnya, masih banyak lagi identitas Fibonacci yang ada. Salah satunya sudah dibahas di atas, yaitu . Namun, karena identitas-identitas tersebut sangat banyak dan saya sedikit malas untuk membuatnya, dan juga karena keterbatasan tempat di post ini, maka sebaiknya materi tersebut dibahas lain waktu. Kalau ada request untuk membuat materi mengenai identitas-isentitas Fibonacci, maka saya akan segera membuatnya.. ^^
Sekian, materi post ini. Semoga membantu menghilangkan penasaran kalian.. ^^