Mengenal bilangan Fibonacci

Tentunya, kita semua mengenal bilangan Fibonacci (atau disebut juga barisan Fibonacci). Suku pertama barisan ini adalah 1, begitu pula dengan suku ke-2. Suku berikutnya merupakan penjumlahan 2 suku sebelumnya.

Suku-suku positif barisan Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

 

Di post ini, kita akan mengenal lebih jauh mengenai bilangan Fibonacci ini. Dimulai dengan sejarah bilangan Fibonacci, bahkan sampai terciptanya rumus Binet, yang digunakan untuk mencari suku ke-n dari Fibonacci, yaitu sebagai berikut.

dimana  = 
Tolong pembaca jangan mabok dulu melihat rumus di atas. ^^. Justru, dengan melihat post ini diharapkan kemabokan pembaca bisa hilang, karena penurunan rumus ini tuh mudah banget…!! (Walaupun perlu bagi saya selama meneliti barisan Fibonacci ini selama bertahun-tahun… Halah.. Lebay.. ~_~)


=========================================================================

== ASAL MUASAL BARISAN FIBONACCI ==
Barisan Fibonacci berawal dari sebuah kasus yang dikemukakan oleh seorang matematikawan Italia, Fibonacci, dalam bukunya yang berjudul Liber Abaci. Kasus itu dijelaskan sebagai berikut:

Sepasang kelinci muda (jantan dan betina) ditempatkan di suatu pulau. Asumsikan bahwa kelinci tidak akan melahirkan sebelum berumur 2 bulan. Kemudian, setelah berumur 2 bulan, setiap pasang kelinci akan melahirkan sepasang kelinci setiap 1 bulan. Pertanyaannya: Berapa banyak pasang kelinci yang ada di sana setelah n bulan? (Kita juga menggunakan asumsi bahwa kelinci tidak akan pernah mati.)

Kita dapat mengilustrasikan masalah kelinci itu seperti tabel di bawah.
Asumsikan bahwa gambar 1 kelinci berarti 1 pasang kelinci.

Keterangan:
= kelinci muda
= kelinci 1 bulan
= kelinci berumur ≥ 2 bulan

 

Bulan ke- Ilustrasi kelinci yang ada di pulau Total pasang kelinci
1
__
1
2
__
1
3
_________
2
4
_________ __
3
5
_________ ______
5
6 8
7 dan seterusnya… 13

 

Kasus kelinci saat itu belumlah menjadi perhatian yang yang menarik. Kemudian, pada abad ke-19, Edouard Lucas mendefinisikan kembali barisan tersebut, dan menamakan barisan tersebut sebagai barisan Fibonacci di mana setiap sukunya diberikan simbol .

 

Barisan Fibonacci dapat didefinisikan kembali sebagai berikut:


.
 untuk 
Note: kita juga dapat mendefinisikan .


Untuk selanjutnya, barisan Fibonacci ini muncul dalam berbagai macam aplikasi. Sebagai contoh, di dalam bidang pertanian, jumlah pola spiral yang muncul pada tanaman (sering disebut sebagai phyllotaxis) selalu merupakan pola barisan Fibonacci.

=========================================================================

== MENCARI JUMLAH N SUKU PERTAMA BARISAN FIBONACCI ==


Dalam hubungannya mencari jumlah n suku pertama, pembicaraan kita tak terlepas dari deret. Kita beri simbol  untuk menyatakan jumlah n suku pertama tersebut

Note: Pemberian simbol  untuk deret Fibonacci ini tidak universal, dan tidak berlaku di tempat lain.

Agar menjadi gambaran yang jelas, berikut akan disertakan tabel  dan .
Tabel  (barisan Fibonacci)
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Tabel  (deret Fibonacci)

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10
1 2 4 7 12 20 33 54 88 144


Jelas bahwa kita menemukan identitas berikut:


berlaku untuk .
Berikut bukti identitas tersebut secara eksplisit:
Kita tahu bahwa  untuk . Jika kita mensubstitusikan , maka pernyataan sebelumnya bermakna sama dengan: untuk . Atau, jika kita tulis ulang dengan pemindahan ruas, akan sama dengan:
 untuk 

Oleh karena itu:


 = 
=
 =
TERBUKTI


=========================================================================

== MENCARI FORMULA BARISAN FIBONACCI ==
== RUMUS BINET==

 

Jika kita ingin mencari suku ke 5 () dari barisan fibonacci, tentunya kita lakukan dengan cara menghitung ulang secara 5 kali. Lebih tepatnya, kita melakukan penjumlahan 5 kali. Lalu bagaimana dengan  atau ? Mampukah kita menghitungnya? Jawabanya: tentu saja sanggup, tapi memakan waktu lama. Cara yang lebih baik yaitu dengan menggunakan komputer, karena komputer mampu menghitung dengan sekejab. Namun, tetap saja, algorima yang digunakan haruslah rekursif, yaitu seperti definisi fungsi Fibonacci sebelumnya di atas. Apakah ada formula lain yang mampu menghitung secara jauh lebih cepat, tanpa melakukan perhitungan secara rekursi?? Jawabnya adalah YA.


Berikut diberikan formula (rumus Binet) untuk menentukan suku ke-n dari barisan fibonacci.


dimana  = .
Phi () sering disebut juga sebagai golden number. Nilai  juga sama dengan  atau mendekati 

 

Tentu saja, kalian bisa mencocokan hasil perhitungan ini dengan hasil perhitungan manual.
Sebagai contoh n = 9. Maka:



Hasilnya tidak diragukan lagi. Memang sama..!!

 

Mungkin bagi kalian yang pertama kali melihat rumus Binet, awalnya shock.. (Hayolah ngaku.. Aku sendiri tuh shock banget.. :P). Rumus itu sungguh ajaib, karena ruas kanan formulanya penuh dengan bilangan irasional, namun bagian di ruas kiri adalah bilangan bulat. Sungguh ajaib.!! Bagi kalian yang ingin melihat lebih jauh penurunan rumus tersebut, silakan lanjutkan membaca di bawah.. ^^

 

BUKTI RUMUS BINET

Barisan Fibonacci merupakan barisan kombinasi linear . Namun, kita juga dapat mendekati barisan ini secara geometrik.

Asumsikan bahwa:  dimana a merupakan konstanta awal yang bukan nol. Dengan demikian:


Dengan membagi kedua ruas dengan , kita dapatkan:


Bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kita gunakan rumus untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Maka, kita dapatkan: dan . Untuk mempermudah penulisan, kita tahu bahwa hasil dari  merupakan golden number, maka kita simbolkan dengan . Hasil dari  juga ternyata adalah .

Kita mendapatkan 2 buah r dalam barisan ini. Artinya, barisan fibonacci merupakan barisan geometri kombinasi menggunakan 2 buah rasio tersebut. Ingat kembali asumsi awal bahwa . Karena, kita memiliki 2 buah rasio r, maka kita definisikan kembali


dimana  dan  adalah konstanta bukan nol.

Kombinasi linear tersebut dapat dibuktikan kebenarannya, seperti yang ditunjukkan di kotak warna biru di bawah.

Bukti bahwa barisan Fibonacci dapat didefinisikan sebagai .

Kita buktikan secara induksi matematika. Anggap bahwa  adalah BENAR.

Kita tahu bahwa: , maka:


Namun, kita tahu dari persamaan karakteristik sebelumnya bahwa  dengan membaginya dengan , kita dapatkan . Begitu pula dengan , kita dapatkan .


Karena persamaan  sesuai dengan definisi awal, maka TERBUKTI secara induksi matematik.


   … (a)
     … (b)
Dengan menyelesaikan persamaan (a) dan (b), maka kita dapatkan  dan .

Maka, kita sudah mendapatkan semua komponen formula Fibonacci.

Dengan demikian, formula (rumus) Binet terbukti.
Dapat disingkat menjadi:

dimana  = .


=========================================================================

== CLOSING==

 

Jika dirasa rumus Binet tersebut terlalu menyulitkan, kita bisa menggunakan hampiran yang dapat mengurangi kerumitan tersebut. Karena , maka. Jadi, kita bisa meniadakan unsur . Maka, hampiran rumus Binet adalah sebagai berikut.

untuk n cukup besar.

 

Barisan fibonacci yang dibahas di post ini merupakan barisan dengan suku-suku positif. Kita juga dapat menuliskan suku-suku negatifnya dan hal ini juga dijelaskan dalam formula Binet, sebagai berikut:
…-21, 13, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

Sebenarnya, masih banyak lagi identitas Fibonacci yang ada. Salah satunya sudah dibahas di atas, yaitu . Namun, karena identitas-identitas tersebut sangat banyak dan saya sedikit malas untuk membuatnya, dan juga karena keterbatasan tempat di post ini, maka sebaiknya materi tersebut dibahas lain waktu. Kalau ada request untuk membuat materi mengenai identitas-isentitas Fibonacci, maka saya akan segera membuatnya.. ^^


Sekian, materi post ini. Semoga membantu menghilangkan penasaran kalian.. ^^