Menu Tutup

Mengenal bilangan Fibonacci

bilangan fibonacci

Tentunya, kita semua mengenal bilangan Fibonacci (atau disebut juga barisan Fibonacci). Suku pertama barisan ini adalah 1, begitu pula dengan suku ke-2. Suku berikutnya merupakan penjumlahan 2 suku sebelumnya.

Suku-suku positif barisan Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

 

Di post ini, kita akan mengenal lebih jauh mengenai bilangan Fibonacci ini. Dimulai dengan sejarah bilangan Fibonacci, bahkan sampai terciptanya rumus Binet, yang digunakan untuk mencari suku ke-n dari Fibonacci, yaitu sebagai berikut.
Mengenal bilangan Fibonacci 1
dimana Mengenal bilangan Fibonacci 2 = Mengenal bilangan Fibonacci 3
Tolong pembaca jangan mabok dulu melihat rumus di atas. ^^. Justru, dengan melihat post ini diharapkan kemabokan pembaca bisa hilang, karena penurunan rumus ini tuh mudah banget…!! (Walaupun perlu bagi saya selama meneliti barisan Fibonacci ini selama bertahun-tahun… Halah.. Lebay.. ~_~)


=========================================================================

== ASAL MUASAL BARISAN FIBONACCI ==
Barisan Fibonacci berawal dari sebuah kasus yang dikemukakan oleh seorang matematikawan Italia, Fibonacci, dalam bukunya yang berjudul Liber Abaci. Kasus itu dijelaskan sebagai berikut:

Sepasang kelinci muda (jantan dan betina) ditempatkan di suatu pulau. Asumsikan bahwa kelinci tidak akan melahirkan sebelum berumur 2 bulan. Kemudian, setelah berumur 2 bulan, setiap pasang kelinci akan melahirkan sepasang kelinci setiap 1 bulan. Pertanyaannya: Berapa banyak pasang kelinci yang ada di sana setelah n bulan? (Kita juga menggunakan asumsi bahwa kelinci tidak akan pernah mati.)

Kita dapat mengilustrasikan masalah kelinci itu seperti tabel di bawah.
Asumsikan bahwa gambar 1 kelinci berarti 1 pasang kelinci.

Keterangan:
Mengenal bilangan Fibonacci 4 = kelinci muda
Mengenal bilangan Fibonacci 5 = kelinci 1 bulan
Mengenal bilangan Fibonacci 6 = kelinci berumur ≥ 2 bulan

 

Bulan ke- Ilustrasi kelinci yang ada di pulau Total pasang kelinci
1 Mengenal bilangan Fibonacci 4
__Mengenal bilangan Fibonacci 8
1
2 Mengenal bilangan Fibonacci 5
__Mengenal bilangan Fibonacci 8
1
3 Mengenal bilangan Fibonacci 11
___Mengenal bilangan Fibonacci 8______Mengenal bilangan Fibonacci 13
2
4 Mengenal bilangan Fibonacci 14
___Mengenal bilangan Fibonacci 8______ Mengenal bilangan Fibonacci 13__Mengenal bilangan Fibonacci 13
3
5 Mengenal bilangan Fibonacci 18
___Mengenal bilangan Fibonacci 8______ Mengenal bilangan Fibonacci 13__Mengenal bilangan Fibonacci 13____Mengenal bilangan Fibonacci 22Mengenal bilangan Fibonacci 23
5
6 Mengenal bilangan Fibonacci 24 8
7 dan seterusnya… 13

 

Kasus kelinci saat itu belumlah menjadi perhatian yang yang menarik. Kemudian, pada abad ke-19, Edouard Lucas mendefinisikan kembali barisan tersebut, dan menamakan barisan tersebut sebagai barisan Fibonacci di mana setiap sukunya diberikan simbol Mengenal bilangan Fibonacci 25.

 

Barisan Fibonacci dapat didefinisikan kembali sebagai berikut:

Mengenal bilangan Fibonacci 26
Mengenal bilangan Fibonacci 27.
Mengenal bilangan Fibonacci 28 untuk Mengenal bilangan Fibonacci 29

Note: kita juga dapat mendefinisikan Mengenal bilangan Fibonacci 30.


Untuk selanjutnya, barisan Fibonacci ini muncul dalam berbagai macam aplikasi. Sebagai contoh, di dalam bidang pertanian, jumlah pola spiral yang muncul pada tanaman (sering disebut sebagai phyllotaxis) selalu merupakan pola barisan Fibonacci.

=========================================================================

== MENCARI JUMLAH N SUKU PERTAMA BARISAN FIBONACCI ==


Dalam hubungannya mencari jumlah n suku pertama, pembicaraan kita tak terlepas dari deret. Kita beri simbol Mengenal bilangan Fibonacci 31 untuk menyatakan jumlah n suku pertama tersebut

Note: Pemberian simbol Mengenal bilangan Fibonacci 31 untuk deret Fibonacci ini tidak universal, dan tidak berlaku di tempat lain.

Agar menjadi gambaran yang jelas, berikut akan disertakan tabel Mengenal bilangan Fibonacci 25 dan Mengenal bilangan Fibonacci 31.
Tabel Mengenal bilangan Fibonacci 25 (barisan Fibonacci)

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Tabel Mengenal bilangan Fibonacci 31 (deret Fibonacci)

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10
1 2 4 7 12 20 33 54 88 144


Jelas bahwa kita menemukan identitas berikut:

Mengenal bilangan Fibonacci 37
berlaku untuk Mengenal bilangan Fibonacci 29.
Berikut bukti identitas tersebut secara eksplisit:
Kita tahu bahwa Mengenal bilangan Fibonacci 28 untuk Mengenal bilangan Fibonacci 29. Jika kita mensubstitusikan Mengenal bilangan Fibonacci 41, maka pernyataan sebelumnya bermakna sama dengan:Mengenal bilangan Fibonacci 42 untuk Mengenal bilangan Fibonacci 43. Atau, jika kita tulis ulang dengan pemindahan ruas, akan sama dengan:

Mengenal bilangan Fibonacci 44 untuk Mengenal bilangan Fibonacci 43

Oleh karena itu:

Mengenal bilangan Fibonacci 46
Mengenal bilangan Fibonacci 47 = Mengenal bilangan Fibonacci 48
Mengenal bilangan Fibonacci 47=Mengenal bilangan Fibonacci 50
Mengenal bilangan Fibonacci 47 =Mengenal bilangan Fibonacci 52
TERBUKTI


=========================================================================

== MENCARI FORMULA BARISAN FIBONACCI ==
== RUMUS BINET==

 

Jika kita ingin mencari suku ke 5 (Mengenal bilangan Fibonacci 53) dari barisan fibonacci, tentunya kita lakukan dengan cara menghitung ulang secara 5 kali. Lebih tepatnya, kita melakukan penjumlahan 5 kali. Lalu bagaimana dengan Mengenal bilangan Fibonacci 54 atau Mengenal bilangan Fibonacci 55? Mampukah kita menghitungnya? Jawabanya: tentu saja sanggup, tapi memakan waktu lama. Cara yang lebih baik yaitu dengan menggunakan komputer, karena komputer mampu menghitung dengan sekejab. Namun, tetap saja, algorima yang digunakan haruslah rekursif, yaitu seperti definisi fungsi Fibonacci sebelumnya di atas. Apakah ada formula lain yang mampu menghitung secara jauh lebih cepat, tanpa melakukan perhitungan secara rekursi?? Jawabnya adalah YA.


Berikut diberikan formula (rumus Binet) untuk menentukan suku ke-n dari barisan fibonacci.

Mengenal bilangan Fibonacci 1
dimana Mengenal bilangan Fibonacci 2 = Mengenal bilangan Fibonacci 3.

Phi (Mengenal bilangan Fibonacci 2) sering disebut juga sebagai golden number. Nilai Mengenal bilangan Fibonacci 2 juga sama dengan Mengenal bilangan Fibonacci 61 atau mendekati Mengenal bilangan Fibonacci 62

 

Tentu saja, kalian bisa mencocokan hasil perhitungan ini dengan hasil perhitungan manual.
Sebagai contoh n = 9. Maka:
Mengenal bilangan Fibonacci 63
Mengenal bilangan Fibonacci 64
Mengenal bilangan Fibonacci 65
Hasilnya tidak diragukan lagi. Memang sama..!!

 

Mungkin bagi kalian yang pertama kali melihat rumus Binet, awalnya shock.. (Hayolah ngaku.. Aku sendiri tuh shock banget.. :P). Rumus itu sungguh ajaib, karena ruas kanan formulanya penuh dengan bilangan irasional, namun bagian di ruas kiri adalah bilangan bulat. Sungguh ajaib.!! Bagi kalian yang ingin melihat lebih jauh penurunan rumus tersebut, silakan lanjutkan membaca di bawah.. ^^

 

BUKTI RUMUS BINET

Barisan Fibonacci merupakan barisan kombinasi linear Mengenal bilangan Fibonacci 28. Namun, kita juga dapat mendekati barisan ini secara geometrik.

Asumsikan bahwa: Mengenal bilangan Fibonacci 67 dimana a merupakan konstanta awal yang bukan nol. Dengan demikian:

Mengenal bilangan Fibonacci 28
Mengenal bilangan Fibonacci 69

Dengan membagi kedua ruas dengan Mengenal bilangan Fibonacci 70, kita dapatkan:

Mengenal bilangan Fibonacci 71
Mengenal bilangan Fibonacci 72

Bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kita gunakan rumusMengenal bilangan Fibonacci 73 untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Maka, kita dapatkan:Mengenal bilangan Fibonacci 74 dan Mengenal bilangan Fibonacci 75. Untuk mempermudah penulisan, kita tahu bahwa hasil dari Mengenal bilangan Fibonacci 76 merupakan golden number, maka kita simbolkan dengan Mengenal bilangan Fibonacci 77. Hasil dari Mengenal bilangan Fibonacci 78 juga ternyata adalah Mengenal bilangan Fibonacci 79.

Kita mendapatkan 2 buah r dalam barisan ini. Artinya, barisan fibonacci merupakan barisan geometri kombinasi menggunakan 2 buah rasio tersebut. Ingat kembali asumsi awal bahwa Mengenal bilangan Fibonacci 67. Karena, kita memiliki 2 buah rasio r, maka kita definisikan kembali

Mengenal bilangan Fibonacci 81
dimana Mengenal bilangan Fibonacci 82 dan Mengenal bilangan Fibonacci 83 adalah konstanta bukan nol.

Kombinasi linear tersebut dapat dibuktikan kebenarannya, seperti yang ditunjukkan di kotak warna biru di bawah.

Bukti bahwa barisan Fibonacci dapat didefinisikan sebagai Mengenal bilangan Fibonacci 81.

Kita buktikan secara induksi matematika. Anggap bahwa Mengenal bilangan Fibonacci 81 adalah BENAR.

Kita tahu bahwa: Mengenal bilangan Fibonacci 28, maka:

Mengenal bilangan Fibonacci 87
Mengenal bilangan Fibonacci 88

Namun, kita tahu dari persamaan karakteristik sebelumnya bahwa Mengenal bilangan Fibonacci 89 dengan membaginya dengan Mengenal bilangan Fibonacci 90, kita dapatkan Mengenal bilangan Fibonacci 91. Begitu pula dengan Mengenal bilangan Fibonacci 92, kita dapatkan Mengenal bilangan Fibonacci 93.

Mengenal bilangan Fibonacci 94
Mengenal bilangan Fibonacci 81

Karena persamaan Mengenal bilangan Fibonacci 25 sesuai dengan definisi awal, maka Mengenal bilangan Fibonacci 81TERBUKTI secara induksi matematik.

Mengenal bilangan Fibonacci 81
Mengenal bilangan Fibonacci 30 Mengenal bilangan Fibonacci 100 Mengenal bilangan Fibonacci 101 … (a)
Mengenal bilangan Fibonacci 102 Mengenal bilangan Fibonacci 100 Mengenal bilangan Fibonacci 104 Mengenal bilangan Fibonacci 100 Mengenal bilangan Fibonacci 106 … (b)
Dengan menyelesaikan persamaan (a) dan (b), maka kita dapatkan Mengenal bilangan Fibonacci 107 dan Mengenal bilangan Fibonacci 108.

Maka, kita sudah mendapatkan semua komponen formula Fibonacci.

Mengenal bilangan Fibonacci 81
Mengenal bilangan Fibonacci 110

Mengenal bilangan Fibonacci 111

Dengan demikian, formula (rumus) Binet terbukti.
Dapat disingkat menjadi:

Mengenal bilangan Fibonacci 1
dimana Mengenal bilangan Fibonacci 2 = Mengenal bilangan Fibonacci 3.


=========================================================================

== CLOSING==

 

Jika dirasa rumus Binet tersebut terlalu menyulitkan, kita bisa menggunakan hampiran yang dapat mengurangi kerumitan tersebut. Karena Mengenal bilangan Fibonacci 115, makaMengenal bilangan Fibonacci 116. Jadi, kita bisa meniadakan unsur Mengenal bilangan Fibonacci 117. Maka, hampiran rumus Binet adalah sebagai berikut.
Mengenal bilangan Fibonacci 118
untuk n cukup besar.

 

Barisan fibonacci yang dibahas di post ini merupakan barisan dengan suku-suku positif. Kita juga dapat menuliskan suku-suku negatifnya dan hal ini juga dijelaskan dalam formula Binet, sebagai berikut:

…-21, 13, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

Sebenarnya, masih banyak lagi identitas Fibonacci yang ada. Salah satunya sudah dibahas di atas, yaitu Mengenal bilangan Fibonacci 37. Namun, karena identitas-identitas tersebut sangat banyak dan saya sedikit malas untuk membuatnya, dan juga karena keterbatasan tempat di post ini, maka sebaiknya materi tersebut dibahas lain waktu. Kalau ada request untuk membuat materi mengenai identitas-isentitas Fibonacci, maka saya akan segera membuatnya.. ^^


Sekian, materi post ini. Semoga membantu menghilangkan penasaran kalian.. ^^

Related Posts

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *