Dalam pembelajaran tentang vektor, kita tidak bisa terlepas dari dot dan cross product.. Apa itu dot dan cross vektor? Lebih jauh lagi, darimana rumus dot dan cross itu berasal? Bagaimanakah contoh soalnya?
Silakan baca lanjutannya.. ^^
=========================================================================
Sekilas Tentang Vektor
Vektor adalah garis yang memiliki panjang dan arah. Simbol untuk vektor, bisa berupa overline variable (misalnya:
Misalnya:
Vektor dalam bentuk matriks kolom dapat dibuat lebih *hemat tempat* dengan pemberian unsur transpos matriks. Jadi, matriks
Sebagai contoh:
Di sini
1. Penjumlahan (dan pengurangan): tinggal menjumlahkan elemen-elemen vektor yang sesuai
2. Perkalian dengan skalar (menghasilkan vektor yang sejajar dengan vektor awal)
3. Perkalian dengan vektor (akan dibahas lebih lanjut).Contoh Soal 1: Jika
Jawab:
Contoh Soal 2: Jika
Jawab: 2
Contoh Soal 3: Jika
Jawab:
_________= 5
Atau dapat juga ditulis
Contoh soal 4: jika
Jawab: Panjang vektor
Jawab:
Contoh Soal 6:
Jawab:
Jawab:
Tentukan panjang vektor
Syarat sejajar dan searah, vektor itu harus dikalikan konstanta yang positif.
Syarat ini juga dipenuhi untuk *panjang* vektor. Jadi:
Panjang vektor satuan adalah 1. Jadi:
1 = c.
Maka, c =
Subtitusikan nilai c ini di persamaan awal, maka didapat:
Contoh soal 8: Berapakah vektor satuan dari vektor
Jawab:
Soal ini identik dengan soal nomor 7 (hanya beda kata-kata).
Di soal ini, kita mencoba memakai rumus vektor satuan, yang logikanya sudah ada di contoh soal nomor 7.
Jadi,
Misalnya:
Jawab:
Dengan digambar, maka kita tahu bahwa
Ruang Dimensi Vektor menunjukkan di dimensi mana vektor itu berada. Misalnya, vektor itu terletak di dalam ruang, maka dia akan berada di dimensi 3 atau di
Sebetulnya, vektor dimensi 4 atau lebih itu ada, tapi vektor ini bersifat *khayal*, dan tidak bisa digambar.
Apakah Dot dan Cross Product berlaku untuk dimensi 4, 5, dan seterusnya…??
Tidak!! Cross Product hanya berlaku di
=========================================================================
Dot Product
Dot (
Masing-masing unsur dari
Justru itulah masalahnya. Si pembuat definisi itu memang sangat kreatif. Mulanya, untuk mengalikan vektor
Apa arti dari hasil perkalian itu?
Kalo ngak *diolah* lebih lanjut, hasil dari
Diketahui di dimensi 3 (
Didapat bahwa, ternyata: (
Tentukan besar sudut yang dibentuk antara
Jawab:
( |
Jadi, |
Contoh Soal 11:
Jika
Di sini kita akan bermain-main dengan vektor satuan. Kita akan melihat vektor di dimensi ruang (
Sesuai dengan definisi Dot Product, maka didapat karakteristik sebagai berikut.
Selain itu, nilainya adalah nol. Lihat di bawah.
Sifat yang dimiliki dot product ini adalah komutatif (dibolak-balik hasilnya sama.. ^^)Dengan melihat karakteristik itu, maka kita dapat mengalikan
= ( = ==== ==== = ++++ ==== = |
Jika
Jawab:
(-1)(4)+(2)(
-6 =
-6 = 15,5403
Di contoh soal di atas, dot product dapat digunakan untuk mencari sudut apit. Namun, sesungguhnya dot vektor dapat digunakan untuk kemampuan yang lebih, yaitu mencari vektor proyeksi. Lihat penjelasan di bawah.Misalkan diberikan vektor
Pertama, tama kita akan mencoba mencari panjang vektor
Sesuai dengan aturan trigonometri:
Sesuai dengan operasi dot vektor:
Gabungkan kedua persamaan di atas, maka akan kita dapatkan rumus untuk
Karena
Ingat rumus untuk vektor satuan sebelumnya, maka persamaan di atas menjadi:
Substitusikan nilai
Untuk mencari vektor proyeksi dari
Di dimensi 2 (
Tentukan
Kasus di atas dapat digambarkan sebagai berikut (
Vektor proyeksi dari
Vektor proyeksi dari
Contoh Soal 14:
Diketahui vektor
Sudut yang dibentuk
Jawab:
Ini adalah soal vektor yang tricky. Mungkin pada awalnya kita kesulitan karena bingung memulai dari mana. Tapi, kita bisa memulai dari apa yang ditanyakan.
Substitusi nilai
Lalu, kita tinggal menentukan untuk mengolah
Karena
6 (
Substitusikan persamaan (ii) ke (i), maka:
=========================================================================
Cross Product
Kita tahu bahwa dot vektor sangat berperan dalam perhitungan sudut dan vektor proyeksi. Keistimewaan dot terletak pada
Cross (
di sini
Hasil dari cross product adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor
Di sini, kita tahu bahwa
Mengapa cross product dapat menghasilkan vektor sedangkan Dot Product tidak?
Sebetulnya dot product bisa menghasilkan vektor jika dikalikan lagi dengan vektor satuan. Namun, dot product sengaja tidak menghasilkan vektor karena di sinilah aplikasi dot vektor yang banyak digunakan (mencari sudut dan vektor proyeksi). Lalu, jika ingin memberi arah, kita tinggal mengalikannya dengan vektor satuan yang arahnya terserah kita (di sini dot vektor bersifat dinamis).
Sementara itu, cross vektor juga sebenarnya bisa jika didefinisikan sebagai ini saja:
Mengapa Cross Product hanya berlaku di dimensi 3 saja?
Untuk membuat vektor yang tegak lurus diperlukan vektor basis yang saling tegak lurus juga. Lalu, di dimensi 4, bisakah kita menemukan 4 vektor yang saling tegak lurus?
Sebenarnya di dimensi 2, cross product bisa saja kita gunakan karena dimensi 2 adalah bagian dari dimensi 3. Namun, mungkin hasil yang dipakai hanyalah sebatas
Di dimensi 3 terdapat 3 vektor basis sebagai berikut.
Vektor yang tegak lurus ada 2 arah (berlawanan). Supaya konsisten, maka kita tentukan arahnya dengan aturan tangan kanan. Ini dilakukan supaya hasilnya **konsisten** dan **universal**. Jadi, ini semacam aturan umum saja. (Sebenarnya jika kita memakai aturan tangan kiri, kita akan mendapatkan hasil yang tegak lurus juga, namun hasilnya negatif. Sebenarnya, ini boleh saja dilakukan).
Sesuai dengan definisi di atas, maka didapat karakteristik sebagai berikut.
—– | —- |
Terlihat bahwa perkalian cross product tidak bersifat komutatif..
Sekarang kita coba mengoperasikan
= ( = ===== ===== = ===== ===== = (Supaya dapat lebih mudah dibaca *dan dihapal*, kita gunakan konsep determinan) = |
Maka, akan didapat vektor yang tegak lurus
Di
Jawab:
(Determinan 3×3 di atas dapat diselesaikan dengan cara Sarrus biasa..)
dapat kita lihat bahwa:
Dari contoh soal 15, berikan 5 contoh vektor yang tegak lurus dengan vektor
Jawab:
Kita sudah menemukan 2 vektor yang tegak lurus, yaitu:
Berikutnya, kita tinggal menemukan vektor-vektor yang sejajar dengan vektor itu. Jadi, kita hanya mengalikan konstanta sesuka apapun yang kita mau.
Misalnya:
Kalikan
Kalikan
Kalikan
Tentunya, akan ada banyak jawab. Intinya, kita cukup mengalikan
Contoh Soal 17:
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (0,1,2) dan terdapat vektor
Jawab:
Pertama, tentukan dulu
Nah, itulah yang disebut dengan vektor normal. Vektor normal adalah karakteristik yang dimiliki oleh bidang. (kalau karakteristik gradien dimiliki oleh garis). Nah, kita tinggal mengikuti rumus persamaan bidang berikut:
Kita sudah mendapat salah 1 contoh vektor normal di contoh nomor 16, yaitu
Substitusikan nilai 3 di n1, 6 di n2, dan -5 di n3. Maka, persamaan bidangnya menjadi:
Bidang itu melalui titik (0,1,2). Oleh karena itu, substitusikan nilai 0 di x1, 1 di x2 dan 2 di x3. Maka persamaannya menjadi:
Contoh soal 18: Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(0,1,-3), B (2,4,-1), dan C(-2,3,5)!
Jawab:
Tentukan 2 vektor yang terletak pada bidang. Di sini, kita mencari vektor
Sekarang kita cari vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor ini. Caranya? Ya, menggunakan cross product!!
Sekarang tinggal memasukkan nilai-nilai itu ke persamaan bidang:
Masukkan n1=20 , n2=-20, n3 = 10
Nah, sekarang masukkan titik yang terletak pada bidang. Terserah kalian ingin memasukkan titik A, atau B, ataupun C, karena semua titik akan menghasilkan hasil yang sama.
Di sini, kita masukkan titik A (0,1,-3). Berarti x1=0.x2=1. x3=-3.
(Contoh Soal lainnya akan menyusul)
=========================================================================
Sifat-Sifat Khusus Cross Product
Kita sudah tahu bahwa cross dan dot product memilii sifat distributif. Lalu, bagaimana jika sudutnya 0. Tentu kita sudah tahu. Di sini, dibahas sifat-sifat yang tidak diberikan secara eksplicit (dan juga jarang terpakai):
1.
=====> Untuk Membutikannya, cukup jabarkan ruas kiri. Lalu ubah
=====>
2.
=====> Bagian ini belum sempat aku coba untuk membuktikannya. Bisakah kalian
=====> membantu saya membuktikannya?
=========================================================================
Sekian materi mengenai dot dan cross product yang terbilang gampang.. Ini materi sekolah SMA, sekaligus materi kuliah di semester awal. Maaf kalau terlalu cepat, karena ini diambil dari berpuluh-puluh halaman dari sebuah buku dan diringkas menjadi 1 halaman web…