Menu Tutup

Mengenal Dot dan Cross Product

Mengenal Dot dan Cross Product

Dalam pembelajaran tentang vektor, kita tidak bisa terlepas dari dot dan cross product.. Apa itu dot dan cross vektor? Lebih jauh lagi, darimana rumus dot dan cross itu berasal? Bagaimanakah contoh soalnya?

Mengenal Dot dan Cross Product 1

Silakan baca lanjutannya.. ^^

=========================================================================

Bagian I
Sekilas Tentang Vektor


Vektor adalah garis yang memiliki panjang dan arah. Simbol untuk vektor, bisa berupa overline variable (misalnya: Mengenal Dot dan Cross Product 2 atau Mengenal Dot dan Cross Product 3) bisa juga dalam simbol dot to dot variabel (misalnya: Mengenal Dot dan Cross Product 4 atau Mengenal Dot dan Cross Product 5, yang artinya titik dimulai dari pangkal A ke titik B).

 

Vektor dapat ditulis dalam bentuk matriks kolom.
Misalnya: Mengenal Dot dan Cross Product 6 =>Mengenal Dot dan Cross Product 7
Vektor dalam bentuk matriks kolom dapat dibuat lebih *hemat tempat* dengan pemberian unsur transpos matriks. Jadi, matriks Mengenal Dot dan Cross Product 6 juga dapat ditulis dalam bentuk Mengenal Dot dan Cross Product 9. Simbol T berarti *tranpos*.Selain itu matriks dapat ditulis dalam bentuk penambahan vektor-vektor satuan.
Sebagai contoh: Mengenal Dot dan Cross Product 6 = 3Mengenal Dot dan Cross Product 11 + 5Mengenal Dot dan Cross Product 12. (Bentuk ini adalah bentuk yang paling efektif, karena menunjukkan elemen vektor satuan.. Tapi, kurang enak dibaca.. ~~a)
Di sini Mengenal Dot dan Cross Product 11 adalah vektor Mengenal Dot dan Cross Product 14, sedangkan Mengenal Dot dan Cross Product 12 adalah vektor Mengenal Dot dan Cross Product 16.

 

Operasi vektor bisa berupa:
1. Penjumlahan (dan pengurangan): tinggal menjumlahkan elemen-elemen vektor yang sesuai
2. Perkalian dengan skalar (menghasilkan vektor yang sejajar dengan vektor awal)
3. Perkalian dengan vektor (akan dibahas lebih lanjut).Contoh Soal 1: Jika Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 6 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 20, maka berapakah Mengenal Dot dan Cross Product 2 + Mengenal Dot dan Cross Product 19?
Jawab: Mengenal Dot dan Cross Product 2 + Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 6 + Mengenal Dot dan Cross Product 20 = Mengenal Dot dan Cross Product 27 = Mengenal Dot dan Cross Product 28

Contoh Soal 2: Jika Mengenal Dot dan Cross Product 2 = 2Mengenal Dot dan Cross Product 11 + 5Mengenal Dot dan Cross Product 12 -8Mengenal Dot dan Cross Product 32, maka berapakah 2Mengenal Dot dan Cross Product 2?
Jawab: 2Mengenal Dot dan Cross Product 2 = 2(2Mengenal Dot dan Cross Product 11 + 5Mengenal Dot dan Cross Product 12 -8Mengenal Dot dan Cross Product 32) = Mengenal Dot dan Cross Product 11 + 5Mengenal Dot dan Cross Product 12 -16Mengenal Dot dan Cross Product 32. (bentuk ini adalah bentuk lain dari vektor. Lihat penjelasan awal).

Contoh Soal 3: Jika Mengenal Dot dan Cross Product 2 = 6Mengenal Dot dan Cross Product 11 -5Mengenal Dot dan Cross Product 12 –Mengenal Dot dan Cross Product 32, dan Mengenal Dot dan Cross Product 19 = 3Mengenal Dot dan Cross Product 11 + Mengenal Dot dan Cross Product 32, dan Mengenal Dot dan Cross Product 48 = -2Mengenal Dot dan Cross Product 11 +5Mengenal Dot dan Cross Product 12, dan Mengenal Dot dan Cross Product 51 = 2Mengenal Dot dan Cross Product 2 – Mengenal Dot dan Cross Product 19 + 2Mengenal Dot dan Cross Product 48, maka berapakah Mengenal Dot dan Cross Product 51?
Jawab: Mengenal Dot dan Cross Product 51 = 2(6Mengenal Dot dan Cross Product 11 -5Mengenal Dot dan Cross Product 12 –Mengenal Dot dan Cross Product 32) – (3Mengenal Dot dan Cross Product 11 + Mengenal Dot dan Cross Product 32) + 2(-2Mengenal Dot dan Cross Product 11 +5Mengenal Dot dan Cross Product 12) = 12Mengenal Dot dan Cross Product 11-10Mengenal Dot dan Cross Product 12-2Mengenal Dot dan Cross Product 32-3Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 32-4Mengenal Dot dan Cross Product 11+10Mengenal Dot dan Cross Product 12
_________= 5Mengenal Dot dan Cross Product 11 – 3Mengenal Dot dan Cross Product 32
Atau dapat juga ditulis Mengenal Dot dan Cross Product 51 = Mengenal Dot dan Cross Product 74.

 

Panjang vektor dapat ditentukan dengan konsep phytagoras. (perhatikan simbol untuk panjang vektor)..
Contoh soal 4: jika Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 6, berapakah panjang Mengenal Dot dan Cross Product 2.
Jawab: Panjang vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 79 = Mengenal Dot dan Cross Product 80 = Mengenal Dot dan Cross Product 81.Contoh soal 5: Jika Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 11+3Mengenal Dot dan Cross Product 12+5Mengenal Dot dan Cross Product 32+7Mengenal Dot dan Cross Product 86+9Mengenal Dot dan Cross Product 87 + 11Mengenal Dot dan Cross Product 88. Tentukan panjang vektor Mengenal Dot dan Cross Product 19!

Jawab: Mengenal Dot dan Cross Product 90 = Mengenal Dot dan Cross Product 91 = Mengenal Dot dan Cross Product 92

 

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan. Lambang vektor satuan bermacam-macam. Di sini akan digunakan simbol Mengenal Dot dan Cross Product 93.
Contoh Soal 6: Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 95. Apakah vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 adalah vektor satuan?
Jawab: Mengenal Dot dan Cross Product 79 = Mengenal Dot dan Cross Product 98 = 1. Maka Mengenal Dot dan Cross Product 2 adalah vektor satuan (karena panjangnya 1)Contoh soal 7: Terdapat vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 dimana Mengenal Dot dan Cross Product 2 = 2Mengenal Dot dan Cross Product 11 + 6j +5k.Tentukan vektor satuan yang searah dan sejajar dengan vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2.
Jawab:
Tentukan panjang vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 79 = Mengenal Dot dan Cross Product 106 = Mengenal Dot dan Cross Product 107
Syarat sejajar dan searah, vektor itu harus dikalikan konstanta yang positif.
Mengenal Dot dan Cross Product 93 = c. Mengenal Dot dan Cross Product 2 … (i)
Syarat ini juga dipenuhi untuk *panjang* vektor. Jadi:
Mengenal Dot dan Cross Product 110 = c. Mengenal Dot dan Cross Product 79
Panjang vektor satuan adalah 1. Jadi:
1 = c. Mengenal Dot dan Cross Product 79
Maka, c = Mengenal Dot dan Cross Product 113 = Mengenal Dot dan Cross Product 114.
Subtitusikan nilai c ini di persamaan awal, maka didapat:
Mengenal Dot dan Cross Product 93 = Mengenal Dot dan Cross Product 114 Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 114 Mengenal Dot dan Cross Product 119 = Mengenal Dot dan Cross Product 120.

Contoh soal 8: Berapakah vektor satuan dari vektor Mengenal Dot dan Cross Product 51 (yang ada di contoh soal nomor 3)?
Jawab:
Soal ini identik dengan soal nomor 7 (hanya beda kata-kata).
Di soal ini, kita mencoba memakai rumus vektor satuan, yang logikanya sudah ada di contoh soal nomor 7.

Mengenal Dot dan Cross Product 93 = Mengenal Dot dan Cross Product 123

Jadi, Mengenal Dot dan Cross Product 124 = Mengenal Dot dan Cross Product 125 Mengenal Dot dan Cross Product 51 = Mengenal Dot dan Cross Product 127 Mengenal Dot dan Cross Product 74 = Mengenal Dot dan Cross Product 129 .

 

Vektor Posisi adalah vektor yang berpangkal dari koordinat O, bisa (0,0) atau (0,0,0), dan seterusnya.
Misalnya: Mengenal Dot dan Cross Product 130 = Mengenal Dot dan Cross Product 119 =>Mengenal Dot dan Cross Product 132Contoh soal 9: Jika Mengenal Dot dan Cross Product 130 = Mengenal Dot dan Cross Product 119, sedangkan Mengenal Dot dan Cross Product 135 = Mengenal Dot dan Cross Product 74. Tentukan vektor Mengenal Dot dan Cross Product 137!
Jawab:
Dengan digambar, maka kita tahu bahwa Mengenal Dot dan Cross Product 130 + Mengenal Dot dan Cross Product 137 = Mengenal Dot dan Cross Product 135, maka:
Mengenal Dot dan Cross Product 137 = Mengenal Dot dan Cross Product 135 Mengenal Dot dan Cross Product 143 Mengenal Dot dan Cross Product 130 = Mengenal Dot dan Cross Product 74 Mengenal Dot dan Cross Product 143Mengenal Dot dan Cross Product 119 = Mengenal Dot dan Cross Product 148

 

Ruang Dimensi Vektor menunjukkan di dimensi mana vektor itu berada. Misalnya, vektor itu terletak di dalam ruang, maka dia akan berada di dimensi 3 atau di Mengenal Dot dan Cross Product 149. Jika vektor itu terletak di bidang, maka vektor itu berada di dimensi Mengenal Dot dan Cross Product 150. Lalu, apakah dimensi 4 itu ada? Bagaimana cara menggambar vektor di dimensi 4 atau lebih? Hmm..

Sebetulnya, vektor dimensi 4 atau lebih itu ada, tapi vektor ini bersifat *khayal*, dan tidak bisa digambar.

Apakah Dot dan Cross Product berlaku untuk dimensi 4, 5, dan seterusnya…??
Tidak!! Cross Product hanya berlaku di Mengenal Dot dan Cross Product 149. Namun, dot bisa berlaku di semua dimensi. Namun, pembuktian untuk dot product di dimensi 4 (atau lebih) masih belum ada (dan tidak akan ada). Jadi, kita sebaiknya lihat pembahasan Dot dan Cross Product di Mengenal Dot dan Cross Product 150 dan Mengenal Dot dan Cross Product 149 saja yach.. ^^


=========================================================================

Bagian II
Dot Product


Dot (Mengenal Dot dan Cross Product 154) Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang akan menghasilkan skalar, yang didefinisikan dalam rumus:

Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 79Mengenal Dot dan Cross Product 90Mengenal Dot dan Cross Product 160

Mengenal Dot dan Cross Product 161 adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19.

 

Mengapa hasilnya skalar?
Masing-masing unsur dari Mengenal Dot dan Cross Product 79Mengenal Dot dan Cross Product 90, dan Mengenal Dot dan Cross Product 160 adalah skalar. Jadi, Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19 juga skalar. (Lihat juga pembahasan tentang cross product. Mungkin akan memperjelas. ^^)Mengapa Dot Product didefinisikan seperti itu?
Justru itulah masalahnya. Si pembuat definisi itu memang sangat kreatif. Mulanya, untuk mengalikan vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19, maka akan ada tiga unsur yang berperan, yaitu panjang Mengenal Dot dan Cross Product 2, panjang Mengenal Dot dan Cross Product 19, dan sudut yang dibentuk keduanya (Mengenal Dot dan Cross Product 161). Definisi untuk dot diambil unsur yang cos. ^^

Apa arti dari hasil perkalian itu?
Kalo ngak *diolah* lebih lanjut, hasil dari Mengenal Dot dan Cross Product 79Mengenal Dot dan Cross Product 90Mengenal Dot dan Cross Product 160 sesungguhnya tidak memiliki arti. Mengenal Dot dan Cross Product 79Mengenal Dot dan Cross Product 90Mengenal Dot dan Cross Product 160 hanya kumpulan angka-angka saja dan angka itu tidak menunjukkan besaran apapun (bagi saya). Oleh, karena itu dot product harus diolah lagi agar dapat diaplikasikan. ^^

 

Contoh soal 10:
Diketahui di dimensi 3 (Mengenal Dot dan Cross Product 149), terdapat vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19.
Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 185.
Didapat bahwa, ternyata: (Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19Mengenal Dot dan Cross Product 189 = Mengenal Dot dan Cross Product 2.
Tentukan besar sudut yang dibentuk antara Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19!
Jawab:

(Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19Mengenal Dot dan Cross Product 189 = Mengenal Dot dan Cross Product 2
Mengenal Dot dan Cross Product 79Mengenal Dot dan Cross Product 90Mengenal Dot dan Cross Product 160Mengenal Dot dan Cross Product 201 = Mengenal Dot dan Cross Product 2
Mengenal Dot dan Cross Product 90Mengenal Dot dan Cross Product 160 = 1
Mengenal Dot dan Cross Product 205 Mengenal Dot dan Cross Product 160 = 1
Mengenal Dot dan Cross Product 160 = Mengenal Dot dan Cross Product 208
Jadi, Mengenal Dot dan Cross Product 161 = Mengenal Dot dan Cross Product 210

Contoh Soal 11:
Jika Mengenal Dot dan Cross Product 79 = 4, berapakah Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 2?

Jawab:

Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 79.Mengenal Dot dan Cross Product 79 Mengenal Dot dan Cross Product 160 (kita tahu bahwa vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 2 itu sudutnya 00)
Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 226
Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 2 = 16

 

Karakteristik Dot Product
Di sini kita akan bermain-main dengan vektor satuan. Kita akan melihat vektor di dimensi ruang (Mengenal Dot dan Cross Product 149), jadi akan ada 3 vektor basis di sini yaitu Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 12, dan Mengenal Dot dan Cross Product 32.
Mengenal Dot dan Cross Product 11 = Mengenal Dot dan Cross Product 235Mengenal Dot dan Cross Product 12 =Mengenal Dot dan Cross Product 237, dan Mengenal Dot dan Cross Product 32 =Mengenal Dot dan Cross Product 239Mengenal Dot dan Cross Product 240
Sesuai dengan definisi Dot Product, maka didapat karakteristik sebagai berikut.
Mengenal Dot dan Cross Product 11 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 11 =|Mengenal Dot dan Cross Product 11|.|Mengenal Dot dan Cross Product 11|.Mengenal Dot dan Cross Product 160 = 1 (ingat bahwa sudut yang dibentuk adalah 00)
Mengenal Dot dan Cross Product 12 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 12 =|Mengenal Dot dan Cross Product 12|.|Mengenal Dot dan Cross Product 12|.Mengenal Dot dan Cross Product 160 = 1
Mengenal Dot dan Cross Product 32 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 32 =|Mengenal Dot dan Cross Product 32|.|Mengenal Dot dan Cross Product 32|.Mengenal Dot dan Cross Product 160 = 1
Selain itu, nilainya adalah nol. Lihat di bawah.
Mengenal Dot dan Cross Product 11 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 12 =|Mengenal Dot dan Cross Product 11|.|Mengenal Dot dan Cross Product 12|.Mengenal Dot dan Cross Product 160 = 0 (karena sudut yang dibentuk adalah 900)
Mengenal Dot dan Cross Product 11 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 32 =|Mengenal Dot dan Cross Product 11|.|Mengenal Dot dan Cross Product 32|.Mengenal Dot dan Cross Product 160 = 0
Mengenal Dot dan Cross Product 12 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 11 =|Mengenal Dot dan Cross Product 12|.|Mengenal Dot dan Cross Product 11|.Mengenal Dot dan Cross Product 160 = 0
Mengenal Dot dan Cross Product 12 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 32 =|Mengenal Dot dan Cross Product 12|.|Mengenal Dot dan Cross Product 32|.Mengenal Dot dan Cross Product 160 = 0
Mengenal Dot dan Cross Product 32 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 11 =|Mengenal Dot dan Cross Product 32|.|Mengenal Dot dan Cross Product 11|.Mengenal Dot dan Cross Product 160 = 0
Mengenal Dot dan Cross Product 32 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 12 =|Mengenal Dot dan Cross Product 32|.|Mengenal Dot dan Cross Product 12|.Mengenal Dot dan Cross Product 160 = 0
Sifat yang dimiliki dot product ini adalah komutatif (dibolak-balik hasilnya sama.. ^^)Dengan melihat karakteristik itu, maka kita dapat mengalikan Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19 tanpa perlu tahu sudutnya. Lihat penguraian di bawah.
Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 11+Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 12+Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 32
Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 306Mengenal Dot dan Cross Product 11+Mengenal Dot dan Cross Product 308Mengenal Dot dan Cross Product 12+Mengenal Dot dan Cross Product 310Mengenal Dot dan Cross Product 32

Mengenal Dot dan Cross Product 2Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 19 = (Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 11+Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 12+Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 32)Mengenal Dot dan Cross Product 154(Mengenal Dot dan Cross Product 306Mengenal Dot dan Cross Product 11+Mengenal Dot dan Cross Product 308Mengenal Dot dan Cross Product 12+Mengenal Dot dan Cross Product 310Mengenal Dot dan Cross Product 32)
Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 306Mengenal Dot dan Cross Product 11+Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 308Mengenal Dot dan Cross Product 12+Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 310Mengenal Dot dan Cross Product 32+
====Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 12Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 306Mengenal Dot dan Cross Product 11+Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 12Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 308Mengenal Dot dan Cross Product 12+Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 12Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 310Mengenal Dot dan Cross Product 32+
====Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 32Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 306Mengenal Dot dan Cross Product 11+Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 32Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 308Mengenal Dot dan Cross Product 12+Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 32Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 310Mengenal Dot dan Cross Product 32
Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 306(Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 11)+ Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 308(Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 12)+Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 310(Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 32)+
++++Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 306(Mengenal Dot dan Cross Product 12Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 11)+Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 308(Mengenal Dot dan Cross Product 12Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 12)+Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 310(Mengenal Dot dan Cross Product 12Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 32)+
====Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 306(Mengenal Dot dan Cross Product 32Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 11)+Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 308(Mengenal Dot dan Cross Product 32Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 12)+Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 310(Mengenal Dot dan Cross Product 32Mengenal Dot dan Cross Product 154Mengenal Dot dan Cross Product 32)
Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 306+Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 308+Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 310

 

Contoh Soal 12:
Jika Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 425 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 427, berapa sudut yang dibentuk oleh kedua vektor itu?
Jawab:
Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 79 Mengenal Dot dan Cross Product 90 Mengenal Dot dan Cross Product 160
(-1)(4)+(2)(Mengenal Dot dan Cross Product 208)+(3)(-1) = Mengenal Dot dan Cross Product 435Mengenal Dot dan Cross Product 436Mengenal Dot dan Cross Product 160
-6 = Mengenal Dot dan Cross Product 438 . Mengenal Dot dan Cross Product 439Mengenal Dot dan Cross Product 160
-6 = 15,5403 Mengenal Dot dan Cross Product 160 (menggunakan kalkulator)
Mengenal Dot dan Cross Product 160 = – 0,386
Mengenal Dot dan Cross Product 161 = 112,710 (menggunakan kalkulator)Ternyata dot vektor dapat digunakan untuk menghitung sudut dengan rumus:

Mengenal Dot dan Cross Product 160 = Mengenal Dot dan Cross Product 445

 

Proyeksi Vektor
Di contoh soal di atas, dot product dapat digunakan untuk mencari sudut apit. Namun, sesungguhnya dot vektor dapat digunakan untuk kemampuan yang lebih, yaitu mencari vektor proyeksi. Lihat penjelasan di bawah.Misalkan diberikan vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19Mengenal Dot dan Cross Product 48 adalah proyeksi vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 ke Mengenal Dot dan Cross Product 19, maka dapat digambarkan sebagai berikut. (Sebenarnya, pangkal vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19 tidak harus berhimpit, namun, dianggap demikian supaya lebih mudah dipahami).

Mengenal Dot dan Cross Product 453

Pertama, tama kita akan mencoba mencari panjang vektor Mengenal Dot dan Cross Product 48.
Sesuai dengan aturan trigonometri: Mengenal Dot dan Cross Product 160 = Mengenal Dot dan Cross Product 456 … (i)
Sesuai dengan operasi dot vektor: Mengenal Dot dan Cross Product 160 = Mengenal Dot dan Cross Product 445… (ii)
Gabungkan kedua persamaan di atas, maka akan kita dapatkan rumus untuk Mengenal Dot dan Cross Product 459

Mengenal Dot dan Cross Product 456 = Mengenal Dot dan Cross Product 445
Mengenal Dot dan Cross Product 459 = Mengenal Dot dan Cross Product 463

Karena Mengenal Dot dan Cross Product 19 dan Mengenal Dot dan Cross Product 48 berhimpit, maka dapat kita simpulkan bahwa vektor satuan dari Mengenal Dot dan Cross Product 19 sama dengan vektor satuan dari Mengenal Dot dan Cross Product 48.

Mengenal Dot dan Cross Product 468 = Mengenal Dot dan Cross Product 469

Ingat rumus untuk vektor satuan sebelumnya, maka persamaan di atas menjadi:

Mengenal Dot dan Cross Product 470 = Mengenal Dot dan Cross Product 471
Mengenal Dot dan Cross Product 48 = Mengenal Dot dan Cross Product 459 Mengenal Dot dan Cross Product 471

Substitusikan nilai Mengenal Dot dan Cross Product 459, maka didapat:

Mengenal Dot dan Cross Product 48 = Mengenal Dot dan Cross Product 477 (vektor proyeksi dari Mengenal Dot dan Cross Product 2 ke Mengenal Dot dan Cross Product 19)

Untuk mencari vektor proyeksi dari Mengenal Dot dan Cross Product 19 ke Mengenal Dot dan Cross Product 2, maka kita tinggal ganti simbol:

Mengenal Dot dan Cross Product 48 = Mengenal Dot dan Cross Product 483 (vektor proyeksi dari Mengenal Dot dan Cross Product 19 ke Mengenal Dot dan Cross Product 2)

 

Contoh Soal 13:
Di dimensi 2 (Mengenal Dot dan Cross Product 150), terdapat 2 buah vektor, yaitu Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19.
Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 490
Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 492
Tentukan Mengenal Dot dan Cross Product 493 (proyeksi Mengenal Dot dan Cross Product 2 pada Mengenal Dot dan Cross Product 19) dan Mengenal Dot dan Cross Product 496 (proyeksi Mengenal Dot dan Cross Product 2 pada Mengenal Dot dan Cross Product 498 Mengenal Dot dan Cross Product 19)!Jawab:
Kasus di atas dapat digambarkan sebagai berikut (Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19 dianggap sebagai vektor posisi)

Mengenal Dot dan Cross Product 502

Vektor proyeksi dari Mengenal Dot dan Cross Product 2 ke Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 493 = Mengenal Dot dan Cross Product 477Mengenal Dot dan Cross Product 507 = Mengenal Dot dan Cross Product 508.
Vektor proyeksi dari Mengenal Dot dan Cross Product 2 ke Mengenal Dot dan Cross Product 498 Mengenal Dot dan Cross Product 19Mengenal Dot dan Cross Product 496 = Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 143 Mengenal Dot dan Cross Product 493 = Mengenal Dot dan Cross Product 516 Mengenal Dot dan Cross Product 143 Mengenal Dot dan Cross Product 508 = Mengenal Dot dan Cross Product 519.

Contoh Soal 14:
Diketahui vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19 bukan Mengenal Dot dan Cross Product 522 (vektor yang panjangnya 0) memenuhi kondisi berikut.

Mengenal Dot dan Cross Product 79 = 2 Mengenal Dot dan Cross Product 90 = Mengenal Dot dan Cross Product 525.

Sudut yang dibentuk Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19 adalah Mengenal Dot dan Cross Product 161. Tentukan Mengenal Dot dan Cross Product 160!

Jawab:
Ini adalah soal vektor yang tricky. Mungkin pada awalnya kita kesulitan karena bingung memulai dari mana. Tapi, kita bisa memulai dari apa yang ditanyakan. Mengenal Dot dan Cross Product 160 selalu berhubungan dengan Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19, maka inilah hal yang pertama kali kita lakukan.
Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 79 Mengenal Dot dan Cross Product 90 Mengenal Dot dan Cross Product 160
Substitusi nilai Mengenal Dot dan Cross Product 79 = 2 Mengenal Dot dan Cross Product 90:
Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19 = 2 Mengenal Dot dan Cross Product 90Mengenal Dot dan Cross Product 90 Mengenal Dot dan Cross Product 160
Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19 = 2 Mengenal Dot dan Cross Product 551 Mengenal Dot dan Cross Product 160 … (i)

Lalu, kita tinggal menentukan untuk mengolah Mengenal Dot dan Cross Product 525. Supaya lebih mudah, maka sebaiknya kita kalikan vektor Mengenal Dot dan Cross Product 554 dengan dirinya sendiri.
Mengenal Dot dan Cross Product 554 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 554 = Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 2 + 6 (Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19) + 9 (Mengenal Dot dan Cross Product 19 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19)
Mengenal Dot dan Cross Product 567 = Mengenal Dot dan Cross Product 226 + 6 (Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19) + 9Mengenal Dot dan Cross Product 551
Karena Mengenal Dot dan Cross Product 79 = Mengenal Dot dan Cross Product 525 (diketahui di soal), maka persamaan tersebut menjadi:

Mengenal Dot dan Cross Product 575 = Mengenal Dot dan Cross Product 576 + 6 (Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19) + 9Mengenal Dot dan Cross Product 551
6 (Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19) = Mengenal Dot dan Cross Product 1439Mengenal Dot dan Cross Product 551
Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 154 Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 589 Mengenal Dot dan Cross Product 551 … (ii)

Substitusikan persamaan (ii) ke (i), maka:

Mengenal Dot dan Cross Product 589 Mengenal Dot dan Cross Product 551 = 2 Mengenal Dot dan Cross Product 551 Mengenal Dot dan Cross Product 160
Mengenal Dot dan Cross Product 160 = Mengenal Dot dan Cross Product 596


=========================================================================

Bagian III
Cross Product

Kita tahu bahwa dot vektor sangat berperan dalam perhitungan sudut dan vektor proyeksi. Keistimewaan dot terletak pada Mengenal Dot dan Cross Product 160 yang membuat perkalian vektor bersudut 900akan bernilai nol, sehingga mempermudah perhitungan. Lalu, bagaimana dengan cross product?

Cross (Mengenal Dot dan Cross Product 598) Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang akan menghasilkan vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor itu di dalam dimensi 3, yang didefinisikan dalam rumus:

Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 598 Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 79Mengenal Dot dan Cross Product 90Mengenal Dot dan Cross Product 604Mengenal Dot dan Cross Product 93

di sini Mengenal Dot dan Cross Product 93 adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan tegak lurus dengan vektor Mengenal Dot dan Cross Product 90.

 

Apa hasil dari cross product itu?
Hasil dari cross product adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan vektor Mengenal Dot dan Cross Product 19. Kenapa bisa begitu? Ini karena pengaruh perkalian vektor-vektor satuan Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19. Untuk lebih jelasnya, bisa dilihat di bagian karakteristik cross product.Sementara, jika kita ingin meng*skalar*kan cross product, maka unsur Mengenal Dot dan Cross Product 93 dapat kita hilangkan, maka rumusnya menjadi:

Mengenal Dot dan Cross Product 614 = Mengenal Dot dan Cross Product 79Mengenal Dot dan Cross Product 90Mengenal Dot dan Cross Product 604

Di sini, kita tahu bahwa Mengenal Dot dan Cross Product 79Mengenal Dot dan Cross Product 90Mengenal Dot dan Cross Product 604 adalah rumus Luas jajargenjang. Wah, ternyata kita bisa mencari luas jajargenjang dari sudut pandang vektor! ^^

Mengenal Dot dan Cross Product 621

Mengapa cross product dapat menghasilkan vektor sedangkan Dot Product tidak?
Sebetulnya dot product bisa menghasilkan vektor jika dikalikan lagi dengan vektor satuan. Namun, dot product sengaja tidak menghasilkan vektor karena di sinilah aplikasi dot vektor yang banyak digunakan (mencari sudut dan vektor proyeksi). Lalu, jika ingin memberi arah, kita tinggal mengalikannya dengan vektor satuan yang arahnya terserah kita (di sini dot vektor bersifat dinamis).

Sementara itu, cross vektor juga sebenarnya bisa jika didefinisikan sebagai ini saja: Mengenal Dot dan Cross Product 79Mengenal Dot dan Cross Product 90Mengenal Dot dan Cross Product 604 karena bisa diaplikasikan dalam mencari luas jajargenjang. Namun, fungsi ini masih terlalu sederhana (bagaimana kita mendefinisikan Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 12 dengan Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 32, tentunya nilai keduanya harus berbeda dan tidak mungkin kita mendefinisikan keduanya adalah 1 meskipun keduanya tegak lurus). Unsur Mengenal Dot dan Cross Product 604 pada cross vektor sungguh *mempesona*. Pada saat sudut yang dibentuk adalah 900 (yang berarti hasil sin-nya adalah 1), maka kita dapat memodifikasinya dengan pemberian arah vektor yang saling ortoghonal (tegak lurus) kedua vektor, berbeda jika kita menggunakan cos pada dot product. Ini juga bisa memberikan solusi bagi nilai Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 12 dengan Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 32 (sebagai contoh) supaya tidak sama.

Mengapa Cross Product hanya berlaku di dimensi 3 saja?
Untuk membuat vektor yang tegak lurus diperlukan vektor basis yang saling tegak lurus juga. Lalu, di dimensi 4, bisakah kita menemukan 4 vektor yang saling tegak lurus?

Sebenarnya di dimensi 2, cross product bisa saja kita gunakan karena dimensi 2 adalah bagian dari dimensi 3. Namun, mungkin hasil yang dipakai hanyalah sebatas Mengenal Dot dan Cross Product 614, karena Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 598 Mengenal Dot dan Cross Product 19 tidak dapat digunakan di dimensi 2.

 

Karakteristik Cross Product
Di dimensi 3 terdapat 3 vektor basis sebagai berikut.
Mengenal Dot dan Cross Product 11 = Mengenal Dot dan Cross Product 235Mengenal Dot dan Cross Product 12 =Mengenal Dot dan Cross Product 237, dan Mengenal Dot dan Cross Product 32 =Mengenal Dot dan Cross Product 239
Vektor yang tegak lurus ada 2 arah (berlawanan). Supaya konsisten, maka kita tentukan arahnya dengan aturan tangan kanan. Ini dilakukan supaya hasilnya **konsisten** dan **universal**. Jadi, ini semacam aturan umum saja. (Sebenarnya jika kita memakai aturan tangan kiri, kita akan mendapatkan hasil yang tegak lurus juga, namun hasilnya negatif. Sebenarnya, ini boleh saja dilakukan).

Mengenal Dot dan Cross Product 648 Mengenal Dot dan Cross Product 240

Sesuai dengan definisi di atas, maka didapat karakteristik sebagai berikut.
Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 11=Mengenal Dot dan Cross Product 522 (karena sudutnya 00)
Mengenal Dot dan Cross Product 12Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 12=Mengenal Dot dan Cross Product 522
Mengenal Dot dan Cross Product 32Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 32=Mengenal Dot dan Cross Product 522

Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 12=Mengenal Dot dan Cross Product 32
Mengenal Dot dan Cross Product 12Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 11=Mengenal Dot dan Cross Product 143Mengenal Dot dan Cross Product 32
—– Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 32=Mengenal Dot dan Cross Product 143Mengenal Dot dan Cross Product 12
Mengenal Dot dan Cross Product 32Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 11=Mengenal Dot dan Cross Product 12
—- Mengenal Dot dan Cross Product 12Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 32=Mengenal Dot dan Cross Product 11
Mengenal Dot dan Cross Product 32Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 12=Mengenal Dot dan Cross Product 143Mengenal Dot dan Cross Product 11

Terlihat bahwa perkalian cross product tidak bersifat komutatif..

Sekarang kita coba mengoperasikan Mengenal Dot dan Cross Product 2 Mengenal Dot dan Cross Product 598 Mengenal Dot dan Cross Product 19
Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 11+Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 12+Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 32
Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 306Mengenal Dot dan Cross Product 11+Mengenal Dot dan Cross Product 308Mengenal Dot dan Cross Product 12+Mengenal Dot dan Cross Product 310Mengenal Dot dan Cross Product 32

Mengenal Dot dan Cross Product 2Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 19 = (Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 11+Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 12+Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 32)Mengenal Dot dan Cross Product 598(Mengenal Dot dan Cross Product 306Mengenal Dot dan Cross Product 11+Mengenal Dot dan Cross Product 308Mengenal Dot dan Cross Product 12+Mengenal Dot dan Cross Product 310Mengenal Dot dan Cross Product 32)
Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 306(Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 11)+Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 308(Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 12)+Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 310(Mengenal Dot dan Cross Product 11Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 32)+
=====Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 306(Mengenal Dot dan Cross Product 12Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 11)+Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 308(Mengenal Dot dan Cross Product 12Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 12)+Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 310(Mengenal Dot dan Cross Product 12Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 32) +
=====Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 306(Mengenal Dot dan Cross Product 32Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 11)+Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 308(Mengenal Dot dan Cross Product 32Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 12)+Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 310(Mengenal Dot dan Cross Product 32Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 32)
Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 306.Mengenal Dot dan Cross Product 522+Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 308.Mengenal Dot dan Cross Product 32+Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 310(Mengenal Dot dan Cross Product 143Mengenal Dot dan Cross Product 12)+
=====Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 306(Mengenal Dot dan Cross Product 143Mengenal Dot dan Cross Product 32)+Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 308.Mengenal Dot dan Cross Product 522+Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 310.Mengenal Dot dan Cross Product 11+
=====Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 306.Mengenal Dot dan Cross Product 12+Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 308(Mengenal Dot dan Cross Product 143Mengenal Dot dan Cross Product 11)+Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 310Mengenal Dot dan Cross Product 522
Mengenal Dot dan Cross Product 11 (Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 310Mengenal Dot dan Cross Product 143 Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 308)Mengenal Dot dan Cross Product 143Mengenal Dot dan Cross Product 12(Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 310 Mengenal Dot dan Cross Product 143 Mengenal Dot dan Cross Product 303Mengenal Dot dan Cross Product 306)+Mengenal Dot dan Cross Product 32(Mengenal Dot dan Cross Product 299Mengenal Dot dan Cross Product 308 Mengenal Dot dan Cross Product 143 Mengenal Dot dan Cross Product 301Mengenal Dot dan Cross Product 306)
(Supaya dapat lebih mudah dibaca *dan dihapal*, kita gunakan konsep determinan)
Mengenal Dot dan Cross Product 816 (gunakan cara Sarrus untuk mencari determinan ordo 3×3)

Maka, akan didapat vektor yang tegak lurus Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19.

 

Contoh Soal 15:
Di Mengenal Dot dan Cross Product 149, terdapat vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19.
Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 74 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 425. Tentukan Mengenal Dot dan Cross Product 2Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 19 dan Mengenal Dot dan Cross Product 19Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 2.
Jawab:
Mengenal Dot dan Cross Product 2Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 19 = Mengenal Dot dan Cross Product 835 = Mengenal Dot dan Cross Product 836 = Mengenal Dot dan Cross Product 837
(Determinan 3×3 di atas dapat diselesaikan dengan cara Sarrus biasa..)
Mengenal Dot dan Cross Product 19Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 2 = Mengenal Dot dan Cross Product 841 = Mengenal Dot dan Cross Product 842 = Mengenal Dot dan Cross Product 843
dapat kita lihat bahwa: Mengenal Dot dan Cross Product 2Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 19= -(Mengenal Dot dan Cross Product 19Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 2).Contoh Soal 16:
Dari contoh soal 15, berikan 5 contoh vektor yang tegak lurus dengan vektor Mengenal Dot dan Cross Product 2 dan vektor Mengenal Dot dan Cross Product 19!
Jawab:
Kita sudah menemukan 2 vektor yang tegak lurus, yaitu: Mengenal Dot dan Cross Product 837, dan Mengenal Dot dan Cross Product 843.
Berikutnya, kita tinggal menemukan vektor-vektor yang sejajar dengan vektor itu. Jadi, kita hanya mengalikan konstanta sesuka apapun yang kita mau.
Misalnya:
Kalikan Mengenal Dot dan Cross Product 837 dengan Mengenal Dot dan Cross Product 208, maka hasilnya: Mengenal Dot dan Cross Product 856 ==> ini contoh yg ke-3
Kalikan Mengenal Dot dan Cross Product 856 dengan 3, maka hasilnya: Mengenal Dot dan Cross Product 858 ==> ini contoh ke-4
Kalikan Mengenal Dot dan Cross Product 843 dengan 2, maka hasilnya Mengenal Dot dan Cross Product 860 ==> ini contoh ke-5
Tentunya, akan ada banyak jawab. Intinya, kita cukup mengalikan Mengenal Dot dan Cross Product 2Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 19 dengan konstanta apapun… ^^

Contoh Soal 17:
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (0,1,2) dan terdapat vektor Mengenal Dot dan Cross Product 74 dan Mengenal Dot dan Cross Product 425 di bidang itu!

Jawab:
Pertama, tentukan dulu Mengenal Dot dan Cross Product 2Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 19(kita sudah mendapatkannya di soal nomor 15)
Nah, itulah yang disebut dengan vektor normal. Vektor normal adalah karakteristik yang dimiliki oleh bidang. (kalau karakteristik gradien dimiliki oleh garis). Nah, kita tinggal mengikuti rumus persamaan bidang berikut:

pers. bidang: Mengenal Dot dan Cross Product 869

Kita sudah mendapat salah 1 contoh vektor normal di contoh nomor 16, yaitu Mengenal Dot dan Cross Product 856.
Substitusikan nilai 3 di n1, 6 di n2, dan -5 di n3. Maka, persamaan bidangnya menjadi:

Mengenal Dot dan Cross Product 871

Bidang itu melalui titik (0,1,2). Oleh karena itu, substitusikan nilai 0 di x1, 1 di x2 dan 2 di x3. Maka persamaannya menjadi:

Mengenal Dot dan Cross Product 872
pers. bidang: Mengenal Dot dan Cross Product 873

Contoh soal 18: Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(0,1,-3), B (2,4,-1), dan C(-2,3,5)!
Jawab:

Mengenal Dot dan Cross Product 874

Tentukan 2 vektor yang terletak pada bidang. Di sini, kita mencari vektor Mengenal Dot dan Cross Product 4 dan Mengenal Dot dan Cross Product 876. (Boleh mencari yang lain).
Mengenal Dot dan Cross Product 4 = Mengenal Dot dan Cross Product 878 = Mengenal Dot dan Cross Product 879
Mengenal Dot dan Cross Product 876 = Mengenal Dot dan Cross Product 881 = Mengenal Dot dan Cross Product 882
Sekarang kita cari vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor ini. Caranya? Ya, menggunakan cross product!!
Mengenal Dot dan Cross Product 4Mengenal Dot dan Cross Product 598Mengenal Dot dan Cross Product 876 = Mengenal Dot dan Cross Product 886 = Mengenal Dot dan Cross Product 887 = Mengenal Dot dan Cross Product 888

Sekarang tinggal memasukkan nilai-nilai itu ke persamaan bidang:

Mengenal Dot dan Cross Product 869

Masukkan n1=20 , n2=-20, n3 = 10

Mengenal Dot dan Cross Product 890
Bagi persamaan dengan 10, supaya lebih sederhana.
Mengenal Dot dan Cross Product 891

Nah, sekarang masukkan titik yang terletak pada bidang. Terserah kalian ingin memasukkan titik A, atau B, ataupun C, karena semua titik akan menghasilkan hasil yang sama.
Di sini, kita masukkan titik A (0,1,-3). Berarti x1=0.x2=1. x3=-3.

Mengenal Dot dan Cross Product 892
pers bidang: Mengenal Dot dan Cross Product 893

(Contoh Soal lainnya akan menyusul)


=========================================================================

Bagian IV
Sifat-Sifat Khusus Cross Product

Kita sudah tahu bahwa cross dan dot product memilii sifat distributif. Lalu, bagaimana jika sudutnya 0. Tentu kita sudah tahu. Di sini, dibahas sifat-sifat yang tidak diberikan secara eksplicit (dan juga jarang terpakai):
1. Mengenal Dot dan Cross Product 894
=====> Untuk Membutikannya, cukup jabarkan ruas kiri. Lalu ubah Mengenal Dot dan Cross Product 895 menjadi
=====>Mengenal Dot dan Cross Product 896.
2. Mengenal Dot dan Cross Product 897
=====> Bagian ini belum sempat aku coba untuk membuktikannya. Bisakah kalian
=====> membantu saya membuktikannya?

=========================================================================
Sekian materi mengenai dot dan cross product yang terbilang gampang.. Ini materi sekolah SMA, sekaligus materi kuliah di semester awal. Maaf kalau terlalu cepat, karena ini diambil dari berpuluh-puluh halaman dari sebuah buku dan diringkas menjadi 1 halaman web…

Related Post

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *